下面是小編為大家整理的第三期（完整文檔）,供大家參考。
探
索
題 第三期 設)(tf是 以2 π 為 周 期 的 光 滑 函 數 , 且 滿 足 (1)
, 0sin)(cos)() 2 ( ,R, 0)(2π02π0==∈∀∫∫tdttftdttfttf?試用分析的方法證明: (1) : 設. 0,)sin()()(θ212π02π0>−=∫∫sdtttfdθfs則θ (2) :.)(θ,4π,)(θ22π0為常值函數等號成立當且僅當則設θdflsfI≤=∫
注: 這個問題來源于幾何上的事實: 我們可以在平面上構造出充分光滑的凸的閉曲線 C, s 為 C所圍面積, I 恰為 C之周長. 命題(1) 在幾何上看是顯然的, 命題(2) 就是著名的等周不等式,)(θF相當于 C上每一點處的曲率半徑.
1)
證:0)(>tf? ), 0 ( πθ ∈∴時∫2f>−θθ00)sin()(dtttf 又0sin)(cos)(02π0==∫∫tdtttdttfπ? ∫0sin)(coscos)(sin)sin()(2π02π02π0=−=−∴∫∫∫θθθtdttftdttfdtttf ∫∫−=−⇒θπ2θθθ0)sin()()sin()(dtttfdtttf 則)2 ,(ππθ ∈時, 令)2 (f)(,2πttg−=−=′πθθ 則), 0 ( πθ ∈′時,
∫∫−θ′−−−=−′<π2θθπ2πθ00)sin()2 (f)sin()(0dtttdtttg dt)ttfdtttftttdt) )tf∫∫∫−=−−=′−−−−=−θθθπ2π2θθπ2ππθπ00sin()()sin()()2 (2 (sin()2 (綜上知:0)sin()(0>−∫dtttfθθ
)2 , 0 (πθ ∈
故:0)sin()()(θ2102π0>−=∫∫dtttfdθfSθθ成立 2)
證: 設∑=n∞++=10)sincos(2)(nnntbntaatf (1)
式積分得))1 ( 21)(4212220nbaaSn∑≠nn−++????=∞π(分析見后)
02π0)(adttfLπ==∫
0) 1−(1)(2π4π22n2n22≥????????−=−∴∑nbaSL成立 等號成立時,2)(00 atfbann=⇒==為常數.
從dtttffdtttfdθfS 0∫)sin()()(θ21)sin()()(θ212002π0−=−=∫ ∫∫θθλθθ (1)()∫ ∫ ∑∑∑∑+++=≠π2θθnθnθnθn00sinsincossinsincoscoscos21,mtaamtaamtaamtaanmmnmnmnmn∑∫ ∫∑∫ ∫π2∑∫ ∫π2∫ ∫π2∑−+−+−+−=−θθθλ2θθdθθnθdθθnθdθθnθdθϑnθ100000000)sin(sinsin21)sin(sincos21)sin(cossin21)sin(coscos2)sin(dttmtaadttmtaadttmtaadttmtaadttmnmnmnmn 對形式積分dtdθtmtnθθπ2θ)sin(coscos00−∫ ∫可手工積分也可用 Mathematica中的 Integrate[] , 即}];, 0 ,t{},2 , 0 ,θ{),sin(cos)([θθθnpitmtCosIntegrate− 程序將給你一個簡單值, 然后你可觀察 m、 n 取０ 或其他整數值上的情況， 仿照以上， 對其它四式也可用同樣的方法取得nm ≠ 時， 積分值為零，0≠= nm時， 值為21n−π或０ ，2n2,nba前取21n−π其余取０ , m=n=0時值為 π2 即420 a前的系數為 π2 。
綜上：∑+−+=)()1 ( 242n2n220banaSππ ３ ）
事實上， 考慮其幾何意義在平面上作出 n+１ 個點??),,(),,(00kkyxyx其中 )2sin(2π)2(),2cos(2π)2(11nkπnnkπfyynkπnnkπfxxkkkk+=+=++
0, 000==yx 可證∞→n時， 逼近一凸圖形且光滑， 這就是符合以)(xf為曲率半徑的曲 線 。
如 圖 ：34 段 長4)86π(πf，２ 到 其 距 離 為)sin(2334θθ −即,4)sin()84π(34πθ−θf故０ 到 34的距離為iiiifθ?θ−θθ(∑=)sin()431仿上可知，
dtttfdθfds)sin()(,)(θ0−=∫θθ為 0 到 ds 的距離.
因 其 凸 , 因 為 可 剖 分 出 很 多 個 三 角 形 之 和 , 面 積 為dtttfdθfhds)sin()()(θ21210−=•∫θθ, 相加得 S 由此我們可設想0)sin()()(θ0>−=∫dtttfhθθ, 對(2 , 0)πθ∈易知0)(θ>h.
當(2 , 0)πθ∈時從圖的對稱性, 我們可想到, 從另一邊來考慮此問題, 也可對稱推得0)(θ>h