下面是小編為大家整理的第12講：圓錐曲線切線（精選文檔）,供大家參考。

　第 第 12 講：圓錐曲線的切線 不管是哪一種圓錐曲線的切線，其本質(zhì)都是圓錐曲線與直線只有一個交點(diǎn)，即聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程所得到的一元二次方程有且僅有一個根，即 0 ? ? ，相信這對于大家來說都不是問題，在這里我們對圓錐曲線的切線做一些總結(jié)，以方便大家在最短的時間內(nèi)解決題目。

　（一）橢圓的切線：

　① 12222? ?byax在點(diǎn) P(0 0 , yx )處的切線方程為12020? ?by yax x ②過橢圓外一點(diǎn) Q（1 1 , yx ）可以做橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)所在的直線方程為12121? ?by yax x ③直線 m kx y ? ? 與橢圓 12222? ?byax相切時，滿足2 2 2 2m b k a ? ?

　例：已知 P 為橢圓 13 42 2? ?y x上一動點(diǎn)，求點(diǎn) P 到直線 0 6 2 ? ? ? y x 的最小值與最大值。

　（二）雙曲線的切線：

　① 1 -2222?byax在點(diǎn) P(0 0 , yx )處的切線方程為 1 -2020?by yax x ②過橢圓外一點(diǎn) Q（1 1 , yx ）可以做橢圓的兩條切線，兩切點(diǎn)所在的直線方程為1 -2121?by yax x ③直線 m kx y ? ? 與橢圓 12222? ?byax相切時，滿足2 2 2 2- m b k a ?

　（三）拋物線的切線：

　①py x 22? 上某點(diǎn) P（0 0 , yx ）的切線斜率為pxk0? ,點(diǎn) P(pxx2,200)，則切線方程為pxx xpxy2) (2000? ? ?

　，即pxpx xy220 0? ? ， 通過觀察我們知道: 與 與 x 軸的交點(diǎn)為 ) 0 ,2(0x與 ，切線與 x 軸的截距為切點(diǎn)處橫坐標(biāo)的一半， 與 與 y 軸的交點(diǎn)為)2-, 0 (20px， 在 在 y 軸上的截距為切點(diǎn)縱坐標(biāo)的相反數(shù)。

　②A（1 1 , yx），B（2 2 , yx）均在拋物線py x 22?上，請推證 A、B 處兩切線及其兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

　 A 點(diǎn)處切線pxpx xy221 1? ?

　B 點(diǎn)處切線pxpx xy222 2? ?

　兩條切線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1 2 1 2,2 2x x x xp?）

　我們發(fā)現(xiàn)：i、 兩切線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為兩個切點(diǎn)的中點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) ii、根據(jù)前面弦長知識點(diǎn)可知，直線與拋物線的兩個交點(diǎn)滿足：

　1 22 x x pb ? ? ( b 為直線與對稱軸的截距)，那么我們得到：

　兩切線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)(1 222 2x x pbbp p?? ? ? )與直線與對稱軸的截距互為相反數(shù)

　延伸一：

　過拋物線對稱軸上一點(diǎn)(0,b)做直線與拋物線

　相交于 A、B 兩點(diǎn) ，過 A、B 分別做拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn) Q，通過幾何畫板作圖我們發(fā)現(xiàn)：

　繞 不論直線繞 P(0,b) 如何旋轉(zhuǎn)，兩切線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為-b 證明：令過 P 的直線為 y kx b ? ? ，2 21 21 2( , ), ( , )2 2x xA x B xp p 聯(lián)立22 x pyy kx b? ??? ??

　得1 22 x x pb ? ?

　設(shè) A 點(diǎn)處切線pxpx xy221 1? ? ,

　 B 點(diǎn)處切線pxpx xy222 2? ?

　則兩條切線的焦點(diǎn)坐標(biāo) Q（1 2 1 2,2 2x x x xp?）

　∴1 222 2Qx x pby bp p?? ? ? ?

　證

　 畢 延伸二、 過點(diǎn) Q ( , ) a b （22 b pa ? ）做拋物線的兩條切線分別切拋物線于點(diǎn) A、B， 直線 AB 與 y 軸的截距為-b 斜率2 21 21 21 22 22ABx xx x a p pkx x p p??? ? ?? ∴ 切點(diǎn)弦方程為：ay x bp? ?

　 ③對于焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線，求切線一般聯(lián)立方程，利用 0 ? ? 求解。

　④需要需注意的是：過拋物線外一點(diǎn)做與拋物線僅有一個交點(diǎn)的直線有三條：除了兩條切線之外還有一條與 x 軸平行（即斜率為 0 的直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)。

　習(xí) 練習(xí) 1 ．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前 375 年-325 年），大約 100 年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，其中法線 l ? 圓 表示與橢圓 C 的 的圓 切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為1 2( ,0), ( ,0)( 0) F c F c c ? ?，由1F 發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到1F 經(jīng)過的路程為8 33c ． 利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題．．．．．．．．．．．．．．．：

　：

　（ （1 ）求橢圓 C 的離心率； （ （2 ）點(diǎn) P 是橢圓 C 上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn) P 處的切線為2, l F 在在 l 上的射影 H 在圓2 24 x y ? ? 上，圓 求橢圓 C 的方程． 】

　【答案】（1）32；（2）2214xy ? ? ． 【分析】

　（1）由題設(shè)，若橢圓 C 的長軸長為 2 (0) a a ?，則8 343a c ? ，即可求離心率. （2）法一：延長2 1, F H FP 交于點(diǎn)0F ，易得2 0PF PF ?且 H 為2 0F F 中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)及點(diǎn)在圓上求橢圓參數(shù) a，即可得橢圓方程；法二：設(shè)1F ， O 在 l 上的射影分別為1 0, H H ，連接1 2, , PF PF OH ，由反射性質(zhì)

　設(shè)1 1FPH ? ? ?則2F PH ? ? ?，即可得12 cos HH a ? ?、0sin OH a ? ?，根據(jù)2 2 20 0OH OH H H ? ? 求橢圓參數(shù)a，寫出橢圓方程. 【詳解】

　（1）設(shè)橢圓 C 的長軸長為 2 (0) a a ?， 由題意知：1F 發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到1F 經(jīng)過的路程為8 343a c ? ， ∴32cea? ? ． （2）法一：如圖：

　延長2 1, F H FP ，交于點(diǎn)0F ， 在2 0PF F 中，0 2 2 0, PH F F F PH F PH ? ? ? ?，則2 0PF PF ?且 H 為2 0F F 中點(diǎn)， 在1 2 0FF F 中，? ? ? ?1 0 1 0 1 21 1 12 2 2OH FF PF PF PF PF ? ? ? ? ? ，則1 24 2 PF PF a ? ? ?， 2 24, 1 a b ? ? ? ，即橢圓方程為2214xy ? ? ． 法二：設(shè)1F ， O 在 l 上的射影分別為1 0, H H ，連接1 2, , PF PF OH ，如圖：

　設(shè)1 1FPH ? ? ?，則2F PH ? ? ?， 在1 1Rt FH P 中，可得1 1 1 1 1sin , cos FH PF PH PF ? ? ? ?，同理：2 2 2sin , cos F H PF PH PF ? ? ? ?， ∴ ? ?1 1 1 2cos 2 cos HH H P HP PF PF a ? ? ? ? ? ? ?，? ?1 21 1 20sinsin2 2PF PF FH F HOH a??? ?? ? ? ， ∵22 2 2 2 20 02( sin ) cos 42aOH OH H H a a ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?， ∴橢圓方程為2214xy ? ? ． 【點(diǎn)睛】

　關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用橢圓上點(diǎn)的反射性質(zhì)確定相關(guān)角或邊的等量關(guān)系及對稱關(guān)系，再根據(jù) 2 OH ? 列方程求橢圓參數(shù). 習(xí) 練習(xí) 2 ．已知拋物線21 :C x y ? ，圓2 22 :( 4) 1 C x y ? ? ? 的圓心為點(diǎn) M ． ．

　（ （1 ）求點(diǎn) M 到拋物線1C 的準(zhǔn)線的距離； （ （2 ）已知點(diǎn) P 是拋物線1C 上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn) P 作圓2C 的兩條切線，交拋物線1C 于 A ， B 兩點(diǎn)，若過 M ， P 兩點(diǎn)的直線 l 垂直于 AB ，求直線 l 的方程． 【答案】

　（1）

　174;

　（2）3 1154115y x ? ? ? . 【分析】

　（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程以及圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果； （1）設(shè)點(diǎn)0( P x ，20 )x ，1( A x ，21 )x ，2( B x ，22 )x ，進(jìn)而表示出 , PA PB 的斜率，由于 M 到直線 , PA PB 的距離相等，因此可得出關(guān)系式，根據(jù)韋達(dá)定理得到表達(dá)式，然后再結(jié)合 l 與 AB 垂直即可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，進(jìn)而得

　出結(jié)果. （1）

　由于拋物線21 :C x y ? 準(zhǔn)線方程為：14y ? ? ，圓2 22 :( 4) 1 C x y ? ? ? 的圓心 (0,4) M ， 利用點(diǎn)到直線的距離公式可以得到距離1 174 ( )4 4d ? ? ? ? ． （2）

　設(shè)點(diǎn)0( P x ，20 )x ，1( A x ，21 )x ，2( B x ，22 )x ； 由題意得：01 x ? ? ，1 2x x ?， 設(shè)過點(diǎn) P 的圓2C 的切線方程為：20 0( ) y x k x x ? ? ? 即20 0y kx kx x ? ? ? ① 則20 02| 4 |11kx xk? ???，即2 2 2 2 20 0 0 0( 1) 2 (4 ) ( 4) 1 0 x k x x k x ? ? ? ? ? ? ?

　設(shè) PA ， PB 的斜率為1k ，2 1 2( ) k k k ?，則1k ，2k 應(yīng)該為上述方程的兩個根， ?20 01 2202 ( 4)1x xk kx?? ??，2 201 220( 4) 11xk kx? ?? ??； 代入①得：2 20 00 x kx kx x ? ? ? ? 則1x ，2x 應(yīng)為此方程的兩個根， 故 11 0x k x ? ?， 22 0x k x ? ? 2 20 0 01 2 1 2 0 020 02 ( 4) 42 2 ,1AB MPx x xk x x k k x x kx x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 由于 MP AB ? ，202315AB MPk K x ? ? ? ? ? ?

　故23 23( , )5 5P ? ?3 115: 4115l y x ? ? ? 直線的方程為 ． 【點(diǎn)睛】

　(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x 1 ＋x 2 ＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式． 習(xí) 練習(xí) 3 ．離心率為 2 的雙曲線2 212 2: 1y xCa b? ? 上的動點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為 2 2 ，拋物線22 :2 ( 0) C x py p ? ? 的焦點(diǎn)與雙曲線1C 的上頂點(diǎn)重合． （ （1 ）求拋物線2C 的方程； （ （2 ）過直線: ( l y a a ?為負(fù)常數(shù)）上任意一點(diǎn) M 向拋物線2C 引兩條切線，切點(diǎn)分別為 AB ，坐標(biāo)原點(diǎn) O 恒在

　以 AB 為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù) a 的取值范圍． 【答案】

　（1）24 x y ? ； （2）

　4 0 a - < < . 【分析】

　（1）根據(jù)雙曲線離心率、焦距求頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)即可得拋物線方程. （2）設(shè)( , ) M m a ，21 11( , )4A x x ，22 21( , )4B x x ，根據(jù)題設(shè)條件可得1x ，2x 是方程24 2 a xm x ? ? 的兩個不同的根，應(yīng)用韋達(dá)定理及坐標(biāo)表示 0 OA OB ? ? 求參數(shù)范圍. （1）

　由已知：雙曲線焦距為 2 2 ，離心率為 2 ，則長軸長為 2， 故雙曲線的上頂點(diǎn)為 (0,1) ，即為拋物線焦點(diǎn). ∴拋物線2C 的方程為24 x y ? ； （2）設(shè)( , ) M m a ，21 11( , )4A x x ，22 21( , )4B x x ，故直線 MA 的方程為21 1 11 1( )4 2y x x x x ? ? ? ，即21 14 2 y x x x ? ?， 所以21 14 2 a x m x ? ?，同理可得：22 24 2 a x m x ? ?， ∴1x ，2x 是方程24 2 a xm x ? ? 的兩個不同的根，則1 24 x x a ?， 2 21 2 1 21( ) 416OA OB x x x x a a ? ? ? ? ? ?，由 O 恒在以 AB 為直徑的圓內(nèi)， 24 0 a a ? ? ? ，即 4 0 a - < < ．

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